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opebet即将上线—柯西对微积分和复分析思想的贡献

时间:2019-01-11 来源:教育教学论坛 作者:营孟珊,王钥,韩树新, 本文字数:3067字

  opebet官方网站—摘    要: 本文采用文献研究法、描述性研究法等, 先通过柯西的生平了解柯西。然后介绍柯西对微积分以及复分析的贡献, 探究柯西对数学的贡献。

 opebet官方网站— 关键词: 柯西; 数学; 微积分; 复分析;

  opebet官方网站—Abstract: The main methods of this paper are literature review and descriptive research.First, the biography of Cauchy was reviewed.Further, his contributions to calculus and complex analysis were introduced in detail.The research indicated the great contributions Cauchy made has further and strong influence on the development of mathematics.

 opebet官方网站— Keyword: Cauchy; mathematics; calculus; complex analysis;

 opebet官方网站— 一、引言

  数学发展史中, 柯西的身影遍布数学的各个领域。在科技不发达的18、19世纪, 柯西带领大家走向分析严格化的世界, 对复分析的建立功不可没。许多学者对柯西做了研究, 如桂质亮[1]研究了柯西的生平事迹, 得出柯西是一个毛糙、高产而杰出的数学家。李晓龙[2]得出虽然柯西一生中有一些缺点, 但更要看到柯西对数学发展不可代替的地位。于金青[3], 石丽仙[4]均探究柯西与早期复分析思想的关系, 得出柯西一生对复分析思想起到重要作用, 但仍有不足。张素亮[5]通过研究柯西的三本微积分着作, 对柯西在微积分方面的贡献进行研究, 总结了柯西微积分体系的三大特点。

  本文通过研究柯西对数学的贡献, 不仅有利于我们对课本知识的理解, 也有助于我们建立正确的求知观。其独具一格的研究方法也对现在的数学教育有着一定参考价值。

opebet官方网站—  二、柯西的生平

  柯西于1789年8月21日诞生在巴黎的上层阶级家庭。父亲是古典文学硕士、律师, 与法国大数学家拉格朗日和拉普拉斯 (Laplacian) 有着密切的关系。少年的柯西爱好数学, 显示出非凡的数学天赋, 受到两位数学家的欣赏。拉格朗日对柯西有着很大的期望, 他多次在公开场合表达自己对柯西的喜爱。但拉格朗日向柯西的父亲建议要给柯西坚实的文学教育, 使其爱好不会误入歧途, 也不让柯西在结束基础教育前追求数学书籍。
 

柯西对微积分和复分析思想的贡献
 

  学生时代的柯西十分优秀, 尤其在数学方面更是表现突出, 并在1810年顺利毕业。毕业后的柯西去瑟堡参加海港建设工作。年底, 他被授予二级桥梁工程师, 并得到上司的奖励。期间, 柯西大部分空闲时间学习数学的各个分支, 其中多面体是他当时研究的主要内容, 这是拉格朗日的建议。在1811和1812年, 柯西发表了两篇关于多面体的论文, 这标志着柯西科学之旅的开始。1812年1月, 柯西向巴黎科学院提交了论文, 证明凸面多面体的刚性表面必须是刚性的。因此, 柯西成为高科技协会的成员。

  1812年底, 因身体每况愈下, 柯西回到巴黎, 从事科学研究的“探索真理”。他在提交给法国研究所的文章中, 不仅对错误理论进行了研究, 而且对确定点的研究, 标志着他建立复杂函数论的开始。1815年底, 他获得了无限深层流体表面波渗透论文科学奖, 并开始在综合工科学校讲授数学分析。期间柯西积极参加各种科学活动, 独自编辑了许多数学刊物, 写了大约100篇论文或注记。

  1830年革命再次爆发。柯西是顽强固执的保王党人, 激烈反对自由派。当奥尔良公爵—菲利普即位时, 柯西受到了很大的刺激, 甚至在校园中起义, 率领民众战斗, 反对宣誓效忠新国王, 他认为宣誓就是背叛。而他的反对并没有起到作用甚至在起义中受到一些暴烈行为, 柯西下决心离开法国。1830到1838年间, 柯西奔波世界各地。他去过瑞士, 试图筹建瑞士科学院, 但并未成功。在这几年的颠簸中, 柯西的研究放慢了进度, 1838年底柯西重返巴黎。在信仰与追求中, 颠簸了八年的柯西最终选择了坚持自己的理想。虽回到巴黎, 但柯西仍不愿对新王宣誓效忠。1848年, 宣誓制度取消, 柯西才被委任为巴黎理学院数学天文学教授。不久, 法国再次革命, 新政权上位, 要求公职人员宣誓效忠。柯西仍不宣誓, 其工作再一次停止。拿破仑三世实在不能忽略柯西的优秀, 批准他再次开课。直至1857年, 柯西与世长辞。

  柯西有着鲜明的开创性。柯西首次研究了常微分方程解的局部性态, 抓住了基本概念使得分析严格化, 首次研究有限群理论并得出许多重要结果。柯西还开创了复分析思想的新时代, 柯西积分定理、留数理论等都对当时的复分析方面的研究起到奠基性的作用, 甚至其影响到今时今日也不见衰减。

  opebet官方网站—三、柯西对微积分的贡献

  柯西对微积分的贡献不仅仅体现在分析的严格化, 其成果间接影响了许多数学家的研究。首先, 柯西通过变量的概念定义极限。虽然没给出的论证方法, 而用文字表达, 但在他的研究中, 已经有了的雏形, 这些在其《分析教程》中都有所体现。其次, 柯西对函数及其连续性也有贡献, 他定义的单、多元函数与现代定义的方法相似, 这也证明了柯西思想的超前性。不仅如此, 柯西还对函数的连续性进行了严格的定义, 甚至给出了严格的证明。微积分里面的概念不再单独存在, 而是以一种体系的形势存在。一些具有较强逻辑的定义定理及其证明甚至应用都被柯西“组装”了起来。这让后人对其研究成果的研读有着很大的便捷性。

  柯西对微积分有非常大的贡献, 比如柯西中值定理及其应用、级数的柯西收敛准则。微积分在实际生活中也有很强的应用, 比如风险投资。许多经营者都是微积分“大师”, 学好微积分是每个经营者、投资者的必备技能。怎样将微积分的抽象概念应用到现实生活中还需我们努力。

 opebet官方网站— 四、柯西对复分析思想的贡献

  复分析即复变函数论, 实分析的自变量是实数, 而复分析的自变量是复数。复分析思想的出现是必然的。首先实分析的严格化, 使大家将目光转向待开发的复分析思想上。其次是当时人们对复数存在性的一些争执, 也推动复分析建立。在许多物理的问题上, 需偏微分方程建立模型, 并对其进行求解。如在1752年, 欧拉编写的《流体运动原理》中, 首次提出一类新的偏微分方程———位势方程 , 对其求解时, 虽可利用傅里叶级数, 但当时人们更希望能找到封闭形式的解。许多数学家都做了努力, 柯西也曾经研究了二位的位势方程 , 并得出相应的封闭性式的解, 但都仅限于研究特殊情形, 没有人得出通解的形式。为解决此问题, 需引进复数。复数比实数的功能要强, 在实数域中不能解决的问题, 可在复数域中解决。因此, 在现实需要和微积分思想双重因素下, 数学家们开启了复分析思想的探究。在19世纪整个世纪里, 柯西以及黎曼等人, 从不同的角度, 以不同的方法, 系统研究复变量解析函数, 并慢慢建立起单复变解析函数论。柯西对复分析贡献是重大的, 不仅提出理论, 而且这些理论对黎曼等人的研究起着重要作用。

  1814年柯西关于定积分的论文, 这是他创建复变函数论的起点, 文中他指出欧拉等人运用实过渡到虚的归纳法, 就算使用时再小心, 都会让证明过程有缺陷, 而且他决定对建立实到虚的移植要使用足够严格的方式, 这就是我们说的“柯西积分定理”。还有非常重要的柯西积分公式、柯西留数定理[6]。

 opebet官方网站— 五、展望

  目前对柯西的研究仍需进行, 柯西发表的文章等应被翻译成多个版本, 以供大家阅读, 不应只限于大学课本。而且课本内容也需进一步丰富, 课本中与柯西有关的定理大部分集中在应用, 我们应去挖掘它们的深层含义, 让大家更好地接触柯西相关定理的研究过程, 并尝试去发现新的观点。

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  [1]李晓龙.谈柯西对数学的贡献[J].河南科技, 2013, 11 (6) :277.
  [2]杜质亮, 赵东方.奥古斯丁·路易斯·柯西:杰出的数学家[J].华中师范大学学报:自然科学版, 1989, 23 (4) :597-602.
  [3]于金青, 王淑红, 邓明立.柯西与早期复分析的发展[J].河北师范大学学报, 2012, 42 (24) :274-279.
  [4]石丽仙.柯西复分析思想探究[D].临汾:山西师范大学, 2013.
  [5]张素亮.试论柯西的微积分思想[J].曲阜师范大学学报:自然科学版, 1990, 16 (1) :65-68.
  [6]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社, 2013.

    营孟珊,王钥,韩树新,梁建英.浅谈柯西对数学的贡献[J].教育教学论坛,2018(41):200-201.
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